時間：2023-08-01 09:22:39
緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發(fā)表網(wǎng)為您精選了8篇數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，愿這些內(nèi)容能夠啟迪您的思維，激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)知識；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)教學(xué)
中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容（基本要求）的整體結(jié)構(gòu)有兩根強(qiáng)有力的支柱，即數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識又蘊(yùn)載著思想方法，二者好比鳥之雙翼，須臾不離，缺一不可.從教育的角度來看，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更為重要，這是因?yàn)橹R的記憶是暫時的，數(shù)學(xué)思想方法的掌握是永久的；知識只能使學(xué)生受益一時，數(shù)學(xué)思想方法將使學(xué)生受益終生.日本學(xué)者米山國藏指出：“無論是對于科學(xué)工作者、技術(shù)人員還是數(shù)學(xué)教育工作者，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)的知識只是第二位.”世界著名數(shù)學(xué)家波利亞在60年代曾做過統(tǒng)計，普通中學(xué)的學(xué)生畢業(yè)后在其工作中需要用到數(shù)學(xué)的（包括數(shù)學(xué)家在內(nèi)）約占全部學(xué)生的30%，而其余的70%則幾乎用不到任何具體的數(shù)學(xué)知識.正是基于這樣的分析，波利亞認(rèn)為：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生――未來用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識（即是指一般性的思想方法或思維模式）.”這就是說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).那么怎樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)？筆者的觀點(diǎn)是：
一、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在動機(jī)
要想使學(xué)生主動學(xué)習(xí)并掌握數(shù)學(xué)思想方法，必須讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想方法能幫助自己提高學(xué)習(xí)效率，改善學(xué)習(xí)成績.這樣才有可能受到激勵，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的動機(jī).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意通過演示、講解、討論等，突出數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)和解決問題中的作用和價值，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)習(xí)有改善作用.
例如，問題1：對于每個實(shí)數(shù)x，設(shè)f（x）是4x + 1，x + 2和-2x + 4三個函數(shù)中的最小值，求f（x）的最大值.
分析：題中沒有直接給出f（x）的表達(dá)式，想通過抽象的數(shù)量關(guān)系分析求解，顯然是困難較大，但是如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將問題與函數(shù)圖像聯(lián)系起來，利用圖像的直觀作用，就容易弄清f（x）的具體內(nèi)容，確定取最大值的點(diǎn)的位置，使原題順利解出. 即在同一平面角坐標(biāo)系中，作函數(shù)
y = 4x + 1 ①
y = x + 2 ②
y = -2x + 4 ③
的圖像，如圖1，觀察圖像即得f（x）的最大值是直線y = x + 2與直線y = -2x + 4的交點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）有最大值■.
為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的的興趣，教師還可以讓學(xué)生比較、評價自己使用數(shù)學(xué)思想方法和不使用數(shù)學(xué)思想方法條件下的學(xué)習(xí)成績，要讓學(xué)生明白，優(yōu)良的數(shù)學(xué)成績是正確應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)果，來激勵學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的主動性.從而看到數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用所帶來的好處.
二、結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，在具體情境中教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法
因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用往往離不開具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)作為學(xué)生面臨的實(shí)際學(xué)習(xí)任務(wù)的一部分來教，通過提供數(shù)學(xué)思想方法可以應(yīng)用的情境，讓學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)思想方法.
例如，“垂線”概念的教學(xué)設(shè)計：
活動一：操作
如圖2，讓學(xué)生把課前準(zhǔn)備好的“相交線模型”中的其中一根木棒固定，把其中的另一根木棒繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，觀察轉(zhuǎn)動過程中，把你認(rèn)為兩根木棒比較美觀的特殊位置固定.
活動二：畫圖
引導(dǎo)學(xué)生用幾何圖形表示兩根木棒的特殊位置，并標(biāo)上字母（如圖3）.
活動三： 測角
引導(dǎo)學(xué)生用量角器測量圖3中的四個角.
活動四：形成概念
讓學(xué)生為這一特殊情形命名，并用自己的語言下定義，然后與書本上比較異同.
活動五：反思
讓學(xué)生反思垂線概念是怎樣得到的，與相交線概念的聯(lián)系.
以上的教學(xué)過程，其滲透的是從一般到特殊、運(yùn)動與靜止、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)美等重要的數(shù)學(xué)思想方法. 學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動，形成了豐富的垂線概念的表象，水到渠成地得到垂線的定義，當(dāng)學(xué)生對垂線概念自主建構(gòu)的同時，也獲得了對數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn).
數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識的結(jié)合是非常緊密的，是相互滲透、互相融合的，只要教師在教學(xué)中有意識地進(jìn)行滲透、傳授，學(xué)生就能獲得大量的關(guān)于解決問題的一般的特殊的數(shù)學(xué)思想方法.因?yàn)槟芴岣呷说膶W(xué)習(xí)記憶和思維效率的數(shù)學(xué)思想方法是無數(shù)的，雖然某些簡單的數(shù)學(xué)思想方法可以很快地學(xué)會，但大部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是不能立竿見影的，所以數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練是長期、反復(fù)和螺旋上升的.
三、按程序性知識學(xué)習(xí)規(guī)律教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)思想方法也是一種程序性知識，其教學(xué)應(yīng)符合程序性知識的學(xué)習(xí)規(guī)律.先是提供數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的實(shí)例，通過師生共同分析歸納出有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，再在教師指導(dǎo)下進(jìn)行該數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用練習(xí).比如，“逆向思考方法”的教學(xué)，教師從“司馬光砸缸”的故事開始，讓學(xué)生討論“司馬光砸水缸救人”運(yùn)用的方法，當(dāng)學(xué)生從故事中概括出：將“人救出水”辦不到時，就讓“水離開人”，那么“逆向思考的數(shù)學(xué)方法”也就水到渠成了.然后讓學(xué)生嘗試解題：池塘里睡蓮覆蓋的面積每天增大 1 倍，若經(jīng)17天，可長滿整個池塘.問長滿半個池塘需要多少天？有的學(xué)生從正向思考，解法較繁，有的學(xué)生逆向思考，解法較巧.即由“每天增大 1 倍”知，從覆蓋一個池塘退回覆蓋半個池塘只需1 天，故長滿半個池塘需17 - 1 = 16（天）.當(dāng)學(xué)生體會到好的問題解決通常要應(yīng)用有效的數(shù)學(xué)思想方法時，就能自發(fā)地運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法來調(diào)控其學(xué)習(xí).
接著，讓學(xué)生運(yùn)用該數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行練習(xí)（練習(xí)題略）.
在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，重視數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生多進(jìn)行在一系列相似情境和不同情境中的變式操作，這對數(shù)學(xué)思想方法的掌握是大有裨益的.
四、指導(dǎo)學(xué)生監(jiān)控數(shù)學(xué)思想方法的使用
在數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用過程中，學(xué)生需要不時地檢測數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的程度，分析當(dāng)前的學(xué)習(xí)任務(wù)是否滿足數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的條件，利用數(shù)學(xué)思想方法取得了哪些進(jìn)展等.
例如，解關(guān)于x的方程：x4 - 10x3 - 2（a - 11）x2 + 2（5a + 6）x + 2a + a2 = 0.
這是一個關(guān)于x的四次方程，學(xué)生解決這一問題的常規(guī)方法是降次，通過因式分解將4次降為2次，但按這樣的方法解決問題并非容易.這時，教師要引導(dǎo)學(xué)生自我提問：“我的解題方法能夠徹底解決問題嗎？”“如果不行，我能換一個思考角度，或者換一種解題方法嗎？”等.事實(shí)上，如果換一個思考角度，采取逆向思維方法思考，將x視為常量，而將a看為變量，問題就轉(zhuǎn)化為解關(guān)于a的二次方程a2 - 2（x2 - 5x - 1）a + （x4 - 10x3 + 22x2 + 12x） = 0的問題.解該方程得a = x2 - 6x 或 a = x2 - 4x - 2.到此，我們再把x看為變量，a視為常量，解關(guān)于x的二次方程，得x1，2 = 3± ，x3，4 = 2± .
“自我提問”就是讓學(xué)生通過自我意識相應(yīng)地調(diào)節(jié)自己的思維和行動.在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，教師要不斷提醒學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的適用條件，教會他們通過“自我提問”監(jiān)控利用數(shù)學(xué)思想方法時所取得的進(jìn)展，問題一旦發(fā)現(xiàn)，則要教他們?nèi)绾螄L試矯正并加以評價，并逐步把外部指導(dǎo)內(nèi)化為學(xué)生自己監(jiān)控和調(diào)節(jié)過程.
現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為所有的研究都要強(qiáng)調(diào)教學(xué)生知道何時、何處應(yīng)用已學(xué)過的數(shù)學(xué)思想方法的重要性，教會他們注意正在使用的數(shù)學(xué)思想方法在什么場合使用以及是否適用，則效果更加好.比如，在解題教學(xué)中，先讓學(xué)生獨(dú)立思考解題的思路，然后組織學(xué)生討論，在討論中，讓學(xué)生說出自己的解題過程，大家對照過程和結(jié)果，看看誰的方法最好，從而尋找最佳解題思路，這是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法的一種有效方法.因?yàn)橛行?，它對?shù)學(xué)思想方法的概括和保持是關(guān)鍵性的.
五、讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法
所謂合作學(xué)習(xí)，是指教學(xué)活動中學(xué)生相互討論、互相提問、互相幫助、共同學(xué)習(xí)的形式.它被現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家視為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中的一種重要的教學(xué)組織形式.
在合作學(xué)習(xí)中，通過學(xué)生間的相互觀察和模仿，可以更貼近地觀測他人巧妙使用的數(shù)學(xué)思想方法，通過“跳一跳”使自己掌握新的數(shù)學(xué)思想方法.在合作學(xué)習(xí)中，由于學(xué)生之間更密切地接觸交流，能更清楚自己與其他同學(xué)在掌握數(shù)學(xué)思想方法上的差距，從而產(chǎn)生“奮起直追”的念頭，起到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的激勵和鞭策作用.
因此，在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中，教師應(yīng)大膽創(chuàng)設(shè)寬松的民主氣氛，使學(xué)生敢于、樂于思考和討論，讓他們的思維進(jìn)入自覺的思維情境中，有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法.
一、開展數(shù)學(xué)思想方法的教育是新課標(biāo)提出的重要教學(xué)要求。
新課標(biāo)突出強(qiáng)調(diào)：“在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)思想和方法）。良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)不完全取決于教材內(nèi)容和知識點(diǎn)的數(shù)量，更應(yīng)注重數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系、結(jié)合和組織方式，把握結(jié)構(gòu)的層次和程序展開后所表現(xiàn)出來的內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學(xué)思想方法能夠優(yōu)化這種組織方式，使各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識融合成有機(jī)的整體，發(fā)揮其重要的指導(dǎo)作用。甚至?xí)€體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻的影響，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移。
二、初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法
最基本的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)的思想，突出這些基本思想方法，就相當(dāng)于抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的精髓。
1、數(shù)形結(jié)合的思想
“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)教學(xué)中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個對象。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，突出數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生從不同的側(cè)面加深對問題的認(rèn)識和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。
2、分類討論的思想
“分類”是生活中普遍存在著的，分類思想是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法，也是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，它始終貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)中。從整體上看，中學(xué)數(shù)學(xué)分代數(shù)、幾何兩大類，然后采用不同方法進(jìn)行研究，就是分類思想的體現(xiàn)。從具體內(nèi)容上看，初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類、三角形的分類、方程的分類等等，在教學(xué)中就需要啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對同一對象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。
3、轉(zhuǎn)化思想
數(shù)學(xué)問題的解決過程就是一系列轉(zhuǎn)化的過程，中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問題的一種最基本的思想。
三、數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)把握的幾個方面
1、在概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映，人們先通過感覺、知覺對客觀事物形成感性認(rèn)識，再經(jīng)過分析比較，抽象概括等一系列思維活動而抽取事物的本質(zhì)屬性才形成概念。因此，概念教學(xué)不應(yīng)只是簡單的給出定義，而要引導(dǎo)學(xué)生感受及領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學(xué)思想。
2、在定理和公式的探求中挖掘數(shù)學(xué)思想方法
著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里找材料，不要只看書上的結(jié)論。”這就是說，對探索結(jié)論過程的數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)，其重要性決不亞于結(jié)論本身。數(shù)學(xué)定理、公式、法則等結(jié)論，都是具體的判斷，其形成大致分成兩種情況：一是經(jīng)過觀察，分析用不完全歸納法或類比等方法得出猜想，爾后再尋求邏輯證明；二是從理論推導(dǎo)出發(fā)得出結(jié)論?？傊@些結(jié)論的取得都是數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的成功范例。
3、在問題解決過程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法
許多教師往產(chǎn)生這樣的困惑：題目講得不少，但學(xué)生總是停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍稍一變則不知所措，學(xué)生一直不能形成較強(qiáng)解決問題的能力。更談不上創(chuàng)新能力的形成。究其原因就在于教師在教學(xué)中僅僅是就題論題，殊不知授之以“漁”比授之以“魚”更為重要。
四、進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)遵循的原則。
1、循序漸進(jìn)原則。
數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識的理解與掌握。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想和方法一般要經(jīng)歷三個階段，一是模仿形成階段，它們往往只注意了數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識的觀點(diǎn)，以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法和策略，即使有所覺察，也是處于"朦朦朧朧"、"似有所悟"的境界。二是初步應(yīng)用階段，即學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識開始已經(jīng)明朗，開始理解解題過程中所使用的探索方法和策略，也會概括總結(jié)出來。 三是自覺應(yīng)用階段，學(xué)生能根據(jù)數(shù)學(xué)問題，恰當(dāng)運(yùn)用某種思想方法進(jìn)行探索，以求得問題的解決。學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過程，決定了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不可能一步到位，也有一個相應(yīng)的循序漸進(jìn)、由淺入深的過程，因此要按照"反復(fù)教育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展"的順序來完成某一數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。
2、學(xué)生參與原則。
由于數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更抽象，不可能照搬、復(fù)制。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)活動過程的教學(xué)，重在思辯操作，離開教學(xué)活動過程，數(shù)學(xué)思想方法也就無從談起。只有組織學(xué)生積極參與教學(xué)過程，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下逐步領(lǐng)悟、形成、掌握數(shù)學(xué)思想方法。因此，要通過教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中，根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式構(gòu)建出數(shù)學(xué)思想方法的體系。
五、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略
1、分析教材，細(xì)劃目標(biāo)。
數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象概括，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程中。在一章或一單元的教學(xué)中，將涉及很多的數(shù)學(xué)思想方法，就要有意識突出一種或幾種思想方法的教學(xué)，如在不等式單元教學(xué)中將涉及代換思想、函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想。為此，在進(jìn)行教學(xué)目標(biāo)設(shè)計時要注意其教學(xué)側(cè)重點(diǎn)，細(xì)劃目標(biāo)，從教學(xué)思想領(lǐng)域和認(rèn)知領(lǐng)域兩個方面分別設(shè)置目標(biāo)。
2、嘗試不同的教學(xué)方法
長期以來，“教師教，學(xué)生學(xué)”是教學(xué)過程中的一個傳統(tǒng)模式，這樣的教學(xué)法已不再適應(yīng)新的教學(xué)觀，應(yīng)將教師的作用從“教”提高到“導(dǎo)”，“導(dǎo)”就是引導(dǎo)，即教師的作用是引導(dǎo)學(xué)生，充分地使學(xué)生展示自己的思維能力和想象能力，盡可能讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)知識。要采取各種教學(xué)方法，如：討論法、談話法、實(shí)驗(yàn)法等有利于引導(dǎo)學(xué)生的教學(xué)方法，從而提高素質(zhì)培養(yǎng)能力。
一、滲透性原則
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)表層知識與深層知識，即數(shù)學(xué)思想和方法組成的有機(jī)整體。表層知識一般包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，表層知識是深層知識的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的。教材中明確給出的，且是具有操作性較強(qiáng)的知識；深層知識一般是蘊(yùn)含于表層知識之中的，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識，教師必須在講授表層知識的過程中不斷滲透相關(guān)的深層知識，才能使學(xué)生在掌握表層知識的同時，領(lǐng)悟到深層知識，使學(xué)生的表層知識達(dá)到一個質(zhì)的“飛躍”。
所謂滲透性原則，是指在表層知識教學(xué)中一般不直接點(diǎn)明所應(yīng)用的教學(xué)思想方法，而是通過精心設(shè)計的教學(xué)過程，有意識潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想和方法。
首先，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法與表層的數(shù)學(xué)知識是有機(jī)整體，它們相互聯(lián)系、相互依存、協(xié)同發(fā)展，那種只重視講授表層知識，而不注重滲透思想方法的教學(xué)是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對所學(xué)知識的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識水平永遠(yuǎn)停留在一個初級階段，難以提高；另外，由于思想方法總是以表層知識教學(xué)為載體，若單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，就會使教學(xué)流于形式，成為無源之水、無本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到思想方法的真諦。
其次，由于數(shù)學(xué)思想方法是表層知識本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的反映，它具有更大的抽象性和概括性，如果說數(shù)學(xué)方法還具有某種形式的話，那么數(shù)學(xué)思想就較難找到固定的形式，而體現(xiàn)為一種意識或觀念。因此，它不是一朝一夕、一招一式可以完成的，而是要日積月累，長期滲透，才能水到渠成。
如上兩個方面，說明了貫徹以滲透性原則為主線的重要性、必要性和可行性。
二、反復(fù)性原則
數(shù)學(xué)思想方法屬于邏輯思維的范疇，學(xué)生對它的領(lǐng)會和掌握具有一個“從個別到一般、從具體到抽象、從感性到理性、從低級到高級”的認(rèn)識過程，由于思想方法和具體的表層知識相比，更加抽象和概括。因此，這個認(rèn)識過程具有長期性和反復(fù)性的特點(diǎn)。
一般來說，數(shù)學(xué)思想方法的形成有一個過程，學(xué)生通過具體表層知識的學(xué)習(xí)，對于蘊(yùn)含其中的某種數(shù)學(xué)思想方法開始產(chǎn)生感性的認(rèn)識，經(jīng)過多次反復(fù)，在豐富感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上逐漸概括形成理性認(rèn)識，然后在應(yīng)用中對形成的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行驗(yàn)證和發(fā)展，加深理性認(rèn)識。從較長的學(xué)習(xí)過程來看，學(xué)生是經(jīng)過多次地反復(fù)，逐漸提高認(rèn)識的層次，從低級到高級螺旋上升的。
三、系統(tǒng)性原則
數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)與表層知識教學(xué)一樣，只有成為系統(tǒng)。建立起自己的結(jié)構(gòu)，才能充分發(fā)揮它的整體效益。當(dāng)前在數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)中，一些教師的隨意性較強(qiáng)。在某個表層知識教學(xué)中，突出什么數(shù)學(xué)思想方法，挖掘到什么深度，要求到什么程度，往往比較隨意，缺乏系統(tǒng)和科學(xué)性。盡管數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)具有自己的特色，系統(tǒng)性不如具體的數(shù)學(xué)表層知識那樣嚴(yán)密，但進(jìn)行系統(tǒng)性研究，掌握它們的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，制訂各階段教學(xué)的目的要求，提高教學(xué)的科學(xué)性，還是十分必要的。
要進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)的研究，需要從兩方面人手：一方面挖掘每個具體數(shù)學(xué)表層知識教學(xué)中可以進(jìn)行哪些數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)；另一方面又要研究一些重要的數(shù)學(xué)思想方法可以在哪些表層知識點(diǎn)教學(xué)中進(jìn)行滲透，從而在縱橫兩方面整理出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的系統(tǒng)。
四、明確性原則
數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在貫徹滲透性、反復(fù)性和系統(tǒng)性原則的同時，還要注意到明確性原則，從數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的整個過程來看，只是長期、反復(fù)、不明確地滲透，將會影響學(xué)生從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍，妨礙了學(xué)生有意識地去掌握和領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法，滲透性和明確性是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)辯證的兩個方面。因此，在反復(fù)滲透的過程中，利用適當(dāng)機(jī)會，對某種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行概括、強(qiáng)化和提高，對它的內(nèi)容、名稱、規(guī)律、運(yùn)用方法適度明確化，應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的又一個原則。
當(dāng)前，在中學(xué)數(shù)學(xué)各科教材中，數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容顯得隱蔽且薄弱，除去一些具體的數(shù)學(xué)方法，比如消元法、換元法、待定系數(shù)法、綜合法、分析法、比較法等有明確地陳述外，一些重要的數(shù)學(xué)思想方法都沒有比較明確和系統(tǒng)地閘述。比如，數(shù)形結(jié)合思想方法，分類討論思想方法，化歸、轉(zhuǎn)換思想方法，系統(tǒng)思想方法，辯證思想方法等，它們一直蘊(yùn)含在基礎(chǔ)知識教學(xué)之中，隱藏在幕后。我們認(rèn)為，適當(dāng)安排它們在教學(xué)中、出現(xiàn)在前臺亮相，對于學(xué)生領(lǐng)會和掌握是大有裨益的。
當(dāng)前，貫徹明確化原則勢必在數(shù)學(xué)表層知識教學(xué)中進(jìn)行，處理不好會干擾基礎(chǔ)知識的教學(xué)，我們應(yīng)當(dāng)在整個教學(xué)過程中，有計劃、有步驟地進(jìn)行，尤其可以在章節(jié)小結(jié)中去完成明確化的任務(wù)。另外，明確化也要做到適度，要針對教材的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際，有一個從淺至深、從不全面到較全面的過程。
一、初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法
1.符號的思想
研究數(shù)學(xué)問題時，為使問題簡明，常常要引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，這種引進(jìn)數(shù)學(xué)符號來簡化問題的思想就是符號思想，用字母表示數(shù)的思想就屬于符號思想。符號既可表示數(shù)，亦可表示量、關(guān)系、運(yùn)算、圖形等，符號思想在初中數(shù)學(xué)各章節(jié)都出現(xiàn)，可以說沒有符號就沒有代數(shù)、沒有幾何，它是簡化問題最基本的方法，利用它可以提高我們的記憶力，起到化繁為簡的目的，因此我們在教學(xué)中要貫穿這個思想，提高學(xué)生的思維能力。
例：把（a+b）2-（a-b）2分解因式
學(xué)生A：解：原式＝a2+2ab+b2-a2+2ab-b2＝4ab
學(xué)生B：解：原式＝（a+b+a-b）（a+b-a+b）＝4ab
分析：剛學(xué)分解因式時，有一部分學(xué)生會采用學(xué)生A的做法，因?yàn)樗麄冞€沒有深刻地理解公式a2-b2＝（a+b）（a-b）里的a，b的意義，所以不會想到學(xué)生B的做法。但是如果把題目變?yōu)椋?a+b）2-（a+2b）2，學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)用學(xué)生A的方法分解因式困難，而采取學(xué)生B的做法，運(yùn)用公式卻能分解因式。此時，教師可強(qiáng)調(diào)公式里的a，b不僅可以表示實(shí)數(shù)，還可以表示單項式或多項式。
2.分類討論的思想
分類思想指的是一種依據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想方法。分類在解題中是一種很重要的方法，掌握分類思想，有助于學(xué)生提高理解知識、整理知識和獨(dú)立獲得知識的能力。運(yùn)用這種方法解決數(shù)學(xué)問題要注意兩點(diǎn)：一是不能遺漏，二是不能重復(fù)。
例：如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝4cm，CD＝8cm，點(diǎn)P從A開始沿AB邊向B以3cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從C開始沿CD邊向D以1cm/s的速度移動，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時間為t（s）。如果P和Q的半徑都是2cm，那么t為何值時，P和Q外切？
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圖1
分析：因?yàn)镻和Q的半徑都是2cm，所以當(dāng)PQ＝4cm時，P和Q外切。而當(dāng)PQ＝4cm時，如果PQ//AD，那么四邊形APQD是平行四邊形；如果PQ與AD不平行，那么四邊形APQD是等腰梯形。本題應(yīng)該分成兩類討論，最后可得當(dāng)t為2s或3s時，P和Q外切。有些學(xué)生經(jīng)常會漏解，教師在教學(xué)中要把重點(diǎn)放在教會學(xué)生如何去分類，不要就題講題。
3.轉(zhuǎn)化的思想
轉(zhuǎn)化思想又稱化歸思想，是最常用的數(shù)學(xué)思想方法，它實(shí)際上貫穿于解題的全過程，它是根據(jù)已有的知識、經(jīng)驗(yàn)把問題進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的或容易解決的思想方法，最終目的是：化繁為簡，化抽象為直觀，化隱為顯，化難為易，化未知為已知等等。如在數(shù)的運(yùn)算中，將減法化成加法，除法化成乘法，冪的運(yùn)算可變成指數(shù)的加減運(yùn)算；在分式計算中，把異分母分式化成同分母分式。在解方程中，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”；分式方程變?yōu)檎椒匠獭Ｔ谧C明中，也常常用到轉(zhuǎn)化的思想。
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圖2
例：如圖2，已知?荀ABCD中，AB＝2AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)。求證：EF、BD互相垂直平分。
分析：因?yàn)榱庑蔚膶蔷€互相垂直平分，所以可以轉(zhuǎn)化為證明四邊形BFDE是菱形，顯然要連接BF和DE，由已知條件，很容易先證得四邊形BFDE是平行四邊形。接著要證一組鄰邊相等，可轉(zhuǎn)化為先證AED是等邊三角形，再根據(jù)已知AB＝2AD，即可得到BE＝DE。有些學(xué)生對幾何證明題甚感頭痛，主要是因?yàn)樗麄儧]有掌握解決證明題的思想方法。
4.數(shù)形結(jié)合的思想
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而數(shù)學(xué)研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的?！皵?shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表達(dá)式等，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形。華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微?！蓖ㄟ^深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺。
例：若a>0，b
分析：如果從“數(shù)”的范圍去討論這個問題頗顯困難，但若從“形”的角度去考慮，利用數(shù)軸很容易得到b
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5.函數(shù)與方程的思想
函數(shù)與方程的思想就是用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法研究問題，將非函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)的研究，使問題得以解決。通常是這樣進(jìn)行的：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立函數(shù)關(guān)系，研究這個函數(shù)，得出相應(yīng)的結(jié)論。中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程、不等式等問題都可利用函數(shù)思想得以簡解。
例：如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，線段EF＝10。在EF上取一點(diǎn)M，分別以EM，MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使得矩形MFGN∽矩形ABCD。令MN＝x，當(dāng)x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？
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分析：因?yàn)榫匦蜯FGN∽矩形ABCD，可得MF＝2x，那么EM＝EF－MF＝10－2x，所以S＝x（10－2x）＝-2（x-■）2+■，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)x-■時，S有最大值為■。
二、在教學(xué)實(shí)踐中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
中學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機(jī)整體，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的編排一般是沿知識的縱方向展開的，大量的數(shù)學(xué)思想方法只是蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結(jié)。這樣就產(chǎn)生了如何處理數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的問題。進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，必須在實(shí)踐中探索規(guī)律，以構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的指導(dǎo)原則。數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建有三個階段：潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段。一般來說，應(yīng)以貫徹滲透性原則為主線，結(jié)合落實(shí)反復(fù)性、系統(tǒng)性和明確性的原則。它們相互聯(lián)系，相輔相成，共同構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的指導(dǎo)思想。
1.滲透性原則
在具體知識教學(xué)中，一般不直接點(diǎn)明所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法，而是通過精心設(shè)計的學(xué)習(xí)情境與教學(xué)過程，著意引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，使他們在潛移默化中達(dá)到理解和掌握。數(shù)學(xué)思想方法與具體的數(shù)學(xué)知識雖然是一個有機(jī)整體，它們相互關(guān)聯(lián)，相互依存，協(xié)同發(fā)展，但是具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)并不能替代數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。一般來說，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)總是以具體數(shù)學(xué)知識為載體，在知識的教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)的。如果說數(shù)學(xué)方法尚具有某種外在形式或模式，那么作為一類數(shù)學(xué)方法的概括的數(shù)學(xué)思想，卻只表現(xiàn)為一種意識或觀念，很難找到外在的固定形式。因此，數(shù)學(xué)思想方法的形式絕不是一朝一夕可以實(shí)現(xiàn)的，必須日積月累，長期滲透才能逐漸為學(xué)生所掌握。如：在“有理數(shù)及其運(yùn)算”一章中，可以結(jié)合“數(shù)軸”教學(xué)，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透；在“有理數(shù)的混合運(yùn)算”中可以滲透轉(zhuǎn)化的思想方法。
2.反復(fù)性原則
學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會和掌握只能遵循從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的認(rèn)識規(guī)律。因此，這個認(rèn)識過程具有長期性和反復(fù)性的特征。從一個較長的學(xué)習(xí)過程看，學(xué)生對每種數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，其間有一個由低級到高級的螺旋上升過程。如對同一數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)該注意其在不同知識階段的再現(xiàn)，以加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識。另外，由于個體差異的存在，與具體的數(shù)學(xué)知識相比，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握往往表現(xiàn)出更大的不同步性。在教學(xué)中，應(yīng)注意給中差生更多的思考，接受理解的時間，逾越了這個過程，或人為地縮短，會導(dǎo)致學(xué)生囫圇吞棗，長此以往，會形成好的更好，差的更差的兩極分化局面。
3.系統(tǒng)性原則
數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會思考和解決問題，并對學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的思維活動起著指導(dǎo)和調(diào)控的作用。數(shù)學(xué)作為中等職業(yè)學(xué)校的文化必修課之一，它的任務(wù)是通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的推理能力、抽象能力、分析能力和創(chuàng)造能力，使學(xué)生具有繼續(xù)學(xué)習(xí)的能力和創(chuàng)新精神，能夠盡快地適應(yīng)社會、服務(wù)社會。日本數(shù)學(xué)家米山國藏認(rèn)為：學(xué)生進(jìn)入社會以后，如果沒有什么機(jī)會應(yīng)用數(shù)學(xué)，那么作為知識的數(shù)學(xué)通常在出校門后不到一兩年就會忘掉，然而不管他們從事什么工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，會長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮作用。因?yàn)樯鐣钪杏性S多思維方法都和數(shù)學(xué)思想方法有著類似之處，所以在數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中要突出數(shù)學(xué)思想方法，這是當(dāng)前中職數(shù)學(xué)教育的必然要求，也是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的體現(xiàn)。下面結(jié)合中等職業(yè)學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，以實(shí)例來說明課堂教學(xué)滲透的四種基本數(shù)學(xué)思想方法。
一、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”?！皵?shù)”可以準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，“形”能在直觀中啟迪“數(shù)”的運(yùn)算。正如華羅庚教授所言“數(shù)缺形時少直觀，形無數(shù)時難入微”。在中等職業(yè)學(xué)校的數(shù)學(xué)教材中，數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)該是最常見、最常用的一種思維方法，甚至貫穿于第一冊（基礎(chǔ)模塊）教材的始終。從第一章用文氏圖來描述集合的運(yùn)算到第二章用二次函數(shù)的圖象詮釋一元二次不等式的解以及第三章開始的基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)?？梢哉f，第一冊數(shù)學(xué)教材的教學(xué)內(nèi)容中，能讓我們真正體會到“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”。
例如，在教材第68頁選擇題中的第3題：已知 a＝log0.50.6， b＝log■0.5， c＝log■■，則a，b，c滿足（）。
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜bD. c＜a＜b
這道題是不同底數(shù)、不同真數(shù)的三個對數(shù)的比較。在不用計算器的情況下，要比較它們的大小關(guān)系，最好的辦法就是通過數(shù)形結(jié)合的思想方法，既形象又直觀，還能讓同學(xué)們再一次把握對數(shù)函數(shù)的圖象與其性質(zhì)之間的關(guān)系，體現(xiàn)其中規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。
二、分類討論思想
分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對象與本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想。分類討論的思想是邏輯劃分的思想在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用。它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題往往具有明顯的邏輯性、探索性、綜合性，能訓(xùn)練學(xué)生的思維條理性和概括性。因此，在中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生按不同的情況對同一對象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類方法的原則，形成分類的思想。
例如：已知數(shù)的前n項和Sn＝2n2－n 求an .
分析：此題是數(shù)列求和的相關(guān)問題，項數(shù)n的取值對結(jié)果有著直接的影響，因此，對項數(shù)n進(jìn)行分類討論。
解：當(dāng)n＝1時， a1＝S1＝2×12－1＝1.
當(dāng)n≥2時， an＝Sn-Sn-1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
在an ＝4n－3中，令n＝1得a1＝4×1－3＝S1＝1.
an ＝4n－3.
事實(shí)上，在教材的內(nèi)容中所體現(xiàn)的分類討論思想也無處不在：在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝ logax的圖象和性質(zhì)時，顯然對底數(shù)a的取值進(jìn)行了分類，分成a>1和0
三、轉(zhuǎn)化思想
轉(zhuǎn)化思想是把一種數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成另一種數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考的方法。把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可以解決的問題，使之得到有效的解決。正如數(shù)學(xué)家C·A·雅潔婭指出：“解題就是要把未解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題?！睌?shù)學(xué)的解題過程就是一個不斷轉(zhuǎn)化的過程。在教學(xué)中，要讓學(xué)生認(rèn)識到常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化的方法，確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的。
例如：在教材第二章不等式中只介紹了一元二次不等式和絕對值不等式的解法，并未涉及分式不等式的求解方法，但在課后練習(xí)中卻出現(xiàn)了分式不等式的求解。針對教材這樣的內(nèi)容設(shè)置，筆者認(rèn)為就是要讓學(xué)生真正把握在求解不等式過程中所應(yīng)用的轉(zhuǎn)化思想。因此，在課堂教學(xué)中，再以下題為例：
求不等式■＞0的解。
分析：此類不等式為分式不等式，根據(jù)兩個因式之商大于零，所以符號必相同。解分式不等式可以轉(zhuǎn)化為解兩個不等式組：2x－1＞0，3x＋5＞0， 或2x－1＜0，3x＋5＜0. 而這也正好是解一元二次不等式基本解的原理，所以對這個分式不等式也可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式：（2x－1）（3x＋5）>0，從而也能夠很快地歸納出一元一次分式不等式的解答規(guī)律。
四、函數(shù)思想
函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地， 函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)，從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題。
例如：教材第66頁習(xí)題A中第2題：某公司現(xiàn)在的年利潤是5000萬元，預(yù)計每年增長22%，問預(yù)計經(jīng)過多少年該公司的年利潤能達(dá)到12000萬元？
分析：從問題中可以看出年利潤是年數(shù)的函數(shù)，故可以設(shè)經(jīng)過x年后，公司的利潤為y萬元，則
當(dāng)x＝1時，y＝5000（1＋22%）
x＝2時，y＝5000（1＋22%）2
……
從而建立數(shù)學(xué)模型。
解：經(jīng)x年后，公司利潤為y＝5000（1＋22%）x.
這是指數(shù)函數(shù)。只要知道經(jīng)過的年數(shù)就可以計算該公司利潤。而此題是知道年利潤反過來求年數(shù)x，所以需要轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)， 使用計算器計算x≈4.4，因此預(yù)計經(jīng)過5年該公司的年利潤能達(dá)到12000萬元。
中等職業(yè)學(xué)校的學(xué)生將來走向職業(yè)崗位遇到的問題，都是實(shí)際問題。學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來解決問題，工作才能做到事半功倍，得心應(yīng)手。正如在整個函數(shù)教學(xué)章節(jié)中，教材都設(shè)置了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用舉例。教師在這些例題教學(xué)中，一定要有意識、有計劃、有目的地去揭示其中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想。
初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的，一方面是讓學(xué)生學(xué)習(xí)必要的數(shù)學(xué)知識，更重要的是通過數(shù)學(xué)知識的載體，學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)思想方法。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識與技能中蘊(yùn)含的更深刻、更普遍的東西。具體的數(shù)學(xué)結(jié)果、適用的范圍是有限的，而一個正確方法的運(yùn)用，則可以產(chǎn)生絡(luò)繹不絕的新結(jié)果。數(shù)學(xué)思想方法是促進(jìn)知識的深化以及向能力轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的橋梁。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)思想方法作為基礎(chǔ)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有計劃地顯化數(shù)學(xué)思想方法，并讓學(xué)生用已獲得的數(shù)學(xué)方法探索新問題，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，去觀察、分析、解決日常生活中的實(shí)際問題。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)和學(xué)習(xí)，深入淺出地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)上的探索。
一、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識地滲透數(shù)形結(jié)合的思想
數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩種基本表現(xiàn)形式，數(shù)是形的深刻描述，而形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助于圖形可以使之形象化、具體化、簡單化；復(fù)雜的幾何形體也可以用簡單的數(shù)量關(guān)系來表示。在解決實(shí)際問題時，數(shù)和形相互轉(zhuǎn)化以得到解決問題的目的。因此，數(shù)形結(jié)合是一種最典型、最基本的數(shù)學(xué)方法。如在應(yīng)用題教學(xué)中，畫出線段圖，把問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，由圖直觀地揭示數(shù)量關(guān)系。這種數(shù)形結(jié)合的方法，不僅能活躍學(xué)生的思維，拓寬學(xué)生的解題思路，提高解題能力，促進(jìn)思維的靈活性、創(chuàng)造性，獲得最優(yōu)化的解決方案，甚至可以激發(fā)學(xué)生的靈感，產(chǎn)生頓悟。
從數(shù)軸到平面直角坐標(biāo)系，可以說數(shù)形結(jié)合的方法將數(shù)學(xué)推向了一個新的高度，利用坐標(biāo)，用代數(shù)的方法研究幾何問題。如函數(shù)圖像的各種性質(zhì)探討，都是利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行研究的。平面直角坐標(biāo)系的引入，真正架起了數(shù)與形之間的橋梁，加強(qiáng)了數(shù)與形的相互聯(lián)系，成為解決數(shù)學(xué)問題的一個強(qiáng)有力的工具。
二、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識地滲透數(shù)學(xué)建模的思想
所謂數(shù)學(xué)模型，是指對于現(xiàn)實(shí)生活的某一特定事物，為了某個特定目的，做出必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，由它提供處理對象的最優(yōu)方法或控制。初中數(shù)學(xué)教學(xué)是以方程教學(xué)為主線的，因此初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上也可以看做為數(shù)學(xué)模型的教學(xué)。初中生的生活經(jīng)驗(yàn)畢竟是有限的，許多實(shí)際問題不可能事事與自己的經(jīng)歷直接相聯(lián)系。因而不能憑借生活經(jīng)驗(yàn)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答，需要建立“問題情境-建立模型-解釋、應(yīng)用與拓展”的思想方法。
在方程（組）教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷建模思想形成與應(yīng)用的過程，要關(guān)注實(shí)際問題情境?，F(xiàn)實(shí)生活中存在大量問題涉及未知數(shù)，這就為學(xué)習(xí)方程（組）提供了充分的現(xiàn)實(shí)素材，對方程（組）的解法也是在解決實(shí)際問題的過程中進(jìn)行的，通過解決實(shí)際問題反映出方程方程（組）既來自于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際。明確方程（組）是解決含有未知數(shù)問題的重要數(shù)學(xué)工具。其中設(shè)未知數(shù)、列方程（組）是數(shù)學(xué)模型表示和解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，而正確地理解問題情境，分析其中的數(shù)量關(guān)系又是設(shè)未知數(shù)、列方程（組）的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，要從多角度思考，借助圖形、表格、式子進(jìn)行分析，尋找等量關(guān)系，檢驗(yàn)方程的合理性，最終找到解決實(shí)際問題的方案與結(jié)果。
三、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識地滲透轉(zhuǎn)化遷移的思想
“從一種形式到另一種形式的轉(zhuǎn)變，是數(shù)學(xué)科學(xué)最有力的杠桿之一?！痹趯?shí)踐中，人們總是把要研究解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)移過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，獲得解決問題的方法。轉(zhuǎn)化遷移的思想方法是最常用的一種數(shù)學(xué)方法。如長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形等圖形的面積計算都顯化了轉(zhuǎn)化遷移的思想方法。通過轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單。
轉(zhuǎn)化這種變換又是可逆的雙向變換，如用字母表示數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化，有時還需要交叉變換，如列方程解應(yīng)用題。列一元方程困難轉(zhuǎn)化為列多元方程可能就容易，而解多元方程最終還要轉(zhuǎn)化為解一元方程，這種“列”與“解”的互化很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。對于方程的認(rèn)識具備一定積累后，要充分發(fā)揮學(xué)習(xí)心理學(xué)中正向遷移的積極作用，借助已有的對方程的認(rèn)識，可以為學(xué)習(xí)不等式提供一條合理的學(xué)習(xí)之路。
三、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識地滲透統(tǒng)計的思想
統(tǒng)計主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)，它通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析來幫助人們解決問題。根據(jù)數(shù)據(jù)思考和處理問題，通過數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展規(guī)律是統(tǒng)計的基本思想。在教學(xué)中要特別注意，用樣本估計總體是歸納法在統(tǒng)計中的一種運(yùn)用。統(tǒng)計中常常采用從總體中抽出樣本，通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計和推測總體。
在教學(xué)中，除通過具體案例使學(xué)生認(rèn)識有關(guān)統(tǒng)計知識和統(tǒng)計方法外，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感受滲透于統(tǒng)計知識和方法之中的統(tǒng)計思想，使學(xué)生認(rèn)識到統(tǒng)計思想是統(tǒng)計知識和方法的源頭，正是這種思想指導(dǎo)下才產(chǎn)生相應(yīng)的知識與方法。
關(guān)鍵詞：聯(lián)想 創(chuàng)新 思維能力 思想方法
沒有理想和信仰的教育，必定是平庸的教育。素質(zhì)教育與舊式的數(shù)學(xué)教學(xué)很重要的區(qū)別在于授課不單是把學(xué)生當(dāng)成知識的容器，更應(yīng)在教學(xué)中注重數(shù)學(xué)思想與方法的滲透。無論是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程還是練習(xí)解答過程都應(yīng)是在所學(xué)知識的背景下應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法在學(xué)習(xí)上的一種再創(chuàng)造、探索和思考的過程。這些思想方法及策略是學(xué)生將來走向社會必備的素養(yǎng)，這些素養(yǎng)將直接影響到學(xué)生將來能否適應(yīng)社會的需求。
1、 數(shù)形結(jié)合的思想方法
數(shù)形結(jié)合的思想可以使學(xué)生從數(shù)到形和從形到數(shù)的關(guān)系中體會數(shù)形間的密切關(guān)系，從而能利用形象直觀的圖形解決抽象的數(shù)量關(guān)系，使本來模糊不清的關(guān)系豁然開朗，層次分明，從而思路流暢，解法簡捷，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維方法及豐富的聯(lián)想力，所以它是數(shù)學(xué)中一種十分重要和基本的方法。
如：小學(xué)生剛開始學(xué)數(shù)學(xué)，老師就得拿出幾個東西讓他們動手去數(shù)，從而體會圖形中蘊(yùn)藏著數(shù)量。初中學(xué)生剛學(xué)負(fù)數(shù)時就借助溫度計的零下溫度、海平面以下155米的吐魯番盆地等形象生動的具體圖形理解負(fù)數(shù)的定義及學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的必要性，讓學(xué)生感受我們的身邊到處是負(fù)數(shù)。數(shù)軸的引進(jìn)，使同學(xué)們自覺使用數(shù)與對應(yīng)圖形點(diǎn)的關(guān)系比較大小、分析問題和解決問題。運(yùn)用數(shù)軸使相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)的加法等抽象問題變成具體形象、有形可觀，從而大大減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。
數(shù)形結(jié)合往往使問題快捷準(zhǔn)確，使得抽象的數(shù)量關(guān)系與豐富多彩的圖形密切相關(guān)，看看我們的身邊，奇妙的蜂房、股票的走勢圖、建筑物的設(shè)計圖等，形中隱數(shù)，處處是數(shù)與形的完美結(jié)合。
2、方程的思想方法
方程思想是初中數(shù)學(xué)中常見的一種數(shù)學(xué)思想，即通過已知與未知的聯(lián)系建立方程或方程組，并求解從而解決問題。隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，初中數(shù)學(xué)中純幾何證明漸漸被弱化，幾何知識的應(yīng)用更加突出，幾何中計算題比例增加，強(qiáng)調(diào)了幾何與代數(shù)間知識的滲透，運(yùn)用方程解幾何計算題是必不可少的。
例如：有關(guān)兩個互補(bǔ)或互余角的倍分關(guān)系的問題；已知三角形的幾個內(nèi)角的比值，求三角形各內(nèi)角度數(shù)的問題；有關(guān)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和關(guān)系的問題；在直角三角形中，利用勾股定理列方程；利用直角三角形被斜邊上的高分成的兩個三角形與原三角形相似的四個等積式來列方程；在三角形相似中，根據(jù)對應(yīng)邊的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)高線的比、周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方等來列方程；利用面積相等、圓冪定理等。
可見方程的思想在幾何計算中有著廣泛的運(yùn)用，通過布列方程，在己知量與未知量之間搭起橋梁，使解題思路簡單有序，它也是數(shù)形結(jié)合的又一體現(xiàn)。
3、函數(shù)的思想方法
函數(shù)的思想就是運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，是客觀世界中事物運(yùn)動變化規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映，它的本質(zhì)是變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系。
例如：實(shí)數(shù)與數(shù)軸間的一一對應(yīng)關(guān)系；二元一次方程兩個未知數(shù)的對應(yīng)關(guān)系；求代數(shù)式值時，賦予字母的每一個確定的值都對應(yīng)著代數(shù)式唯一確定的值；凸多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和的對應(yīng)關(guān)系；初中代數(shù)中正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系；銳角的四個三角函數(shù)值與銳角角度的對應(yīng)關(guān)系；長方形面積一定時，長與寬的關(guān)系等。
整個數(shù)學(xué)的教學(xué)處處都滲透著函數(shù)的思想，讓學(xué)生從函數(shù)的運(yùn)動變化中感受數(shù)的運(yùn)動變化，從而使靜態(tài)的知識處在動態(tài)運(yùn)動、變化、發(fā)展的過程中，既豐富了同學(xué)們的想象力，又培養(yǎng)了辯證唯物主義的觀點(diǎn)。
4、分析與綜合的思想方法
利用分析與綜合的思想方法能避免教師說教，讓學(xué)生經(jīng)歷討論和爭論后，自主分析和綜合所得出的結(jié)論，并清晰有條理地表達(dá)自己的思考過程。
如何分析題意，從運(yùn)算過程中找到突破口，采用巧妙方法，及時而正確地算出結(jié)果是非常重要的。所以復(fù)習(xí)時必須要求學(xué)生既能用一般方法解決問題，又能用簡便方法解決問題，使學(xué)生們豁然開朗、靈活解答、融會貫通。
5、分類討論的思想方法
在解決某些問題的時候，需要將問題所涉及的所有對象依照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后逐類討論，得出結(jié)論。通過分類討論，可以加強(qiáng)學(xué)生全面、系統(tǒng)的思維能力，并拓寬思路。
在幾何中當(dāng)所給的圖形的位置和形狀不能確定時，就需要運(yùn)用分類討論的思想方法進(jìn)行解答。如等腰三角形的邊長為4和9兩種，求周長；又如數(shù)軸上與某個點(diǎn)的距離是5的點(diǎn)；又如某數(shù)的平方等于9，求這個數(shù)等。各種各樣的分類討論的情況有利于提高同學(xué)們空間想象能力、邏輯思維能力，從而避免偏激片面的不良思維品質(zhì)，提高學(xué)生的素質(zhì)能力。
6、聯(lián)想的思想方法
聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。哲學(xué)家康德說過：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，相似的思考往往能指導(dǎo)我們前進(jìn)”。牛頓看見萍果落地引發(fā)聯(lián)想最后發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。教師必須重視培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維，諸如類比聯(lián)想、化歸聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、因果聯(lián)想等思想方法，使學(xué)生產(chǎn)生靈活思維，展開聯(lián)想的翅膀飛翔。
7、 逆向思維的思想方法
用逆向思維的方法能激發(fā)學(xué)生思維的廣闊性。初中學(xué)生的思維活動往往單純，只會按照習(xí)慣的思維定勢去分析問題，遇到與逆向思維有關(guān)的問題往往容易出錯。如：兩個負(fù)數(shù)相加比兩個正數(shù)相加容易出錯；加減法消元時，兩式相減比兩式相加容易出錯；因式分解時常會對結(jié)果是否要乘開又混淆不清。所以在平時教學(xué)中對加與減、乘和除、乘方與開方、多項式的乘法與因式分解等，都應(yīng)運(yùn)用逆向思維的變換方式進(jìn)行運(yùn)算，從而提高同學(xué)們解題能力與靈活性，培養(yǎng)逆向思維，避免易錯之處。
8、化歸的思想方法
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點(diǎn)。
“數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，數(shù)形結(jié)合的思想，就是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，它是指把代數(shù)的精確刻劃與幾何的形象直觀相統(tǒng)一，將抽象思維與形象直觀相結(jié)合的一種思想方法。
數(shù)形結(jié)合的思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型（主要是方程、不等式或函數(shù)模型），（2）建立幾何模型（或函數(shù)圖象）解決有關(guān)方程和函數(shù)的問題。（3）與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題。（4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問題。采用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)。如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。
數(shù)形結(jié)合的思想方法，不象一般數(shù)學(xué)知識那樣，通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。
教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對數(shù)形結(jié)合思想的的主動應(yīng)用。
滲透數(shù)形結(jié)合的思想，養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合分析問題的意識，每個學(xué)生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看作是一條直線，教室里每個學(xué)生的坐位等等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ)，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)與數(shù)軸，一對有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標(biāo)系，一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖象，二元一次方程組的解與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系等，都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好機(jī)會。
如：直線是由無數(shù)個點(diǎn)組成的集合，實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)也有無數(shù)個，因?yàn)樗鼈兊倪@個共性所以用直線上無數(shù)個點(diǎn)來表示實(shí)數(shù)，這時就把一條直線規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度，把這條直線就叫做數(shù)軸。建立了數(shù)與直線上的點(diǎn)的結(jié)合。即：數(shù)軸上的每個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù)，每個實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的點(diǎn)，建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系，由此讓學(xué)生理解了相反數(shù)、絕對值的幾何意義。建立數(shù)軸后及時引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸來進(jìn)行有理數(shù)的比較大小，學(xué)生通過觀察、分析、歸納總結(jié)得出結(jié)論：通常規(guī)定右邊為正方向時，在數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的總大于左邊的，正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)。讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想在解決問題中的應(yīng)用。為下面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想奠定基礎(chǔ)。
結(jié)合探索規(guī)律和生活中的實(shí)際問題，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合的意識。并能在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的時候注意一些基本原則，如是知形確定數(shù)還是知數(shù)確定形，在探索規(guī)律的過程中應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進(jìn)行，從而歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論。
學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)解決問題的靈活性，提高分析問題、解決問題的能力在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂數(shù)形結(jié)合就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，根據(jù)對象的屬性，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來，有效地相互轉(zhuǎn)化，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。
數(shù)形結(jié)合的結(jié)合思想主要體現(xiàn)在以下幾種：
（1）用方程、不等式或函數(shù)解決有關(guān)幾何量的問題；
（2）用幾何圖形或函數(shù)圖象解決有關(guān)方程或函數(shù)的問題；
（3）解決一些與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題；
（4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問題。
